Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Движения

Понятие движения

Введем для начала предварительные сведения о понятии движения.

Определение 1

Движением плоскости называется такое отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния.

Приведем несколько теорем на понятие движения (в этой статье мы не будем рассматривать их доказательства).

При движении отрезок отображается на равный ему отрезок.

Теорема 2

При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Теорема 3

Любое движение является наложением.

Теорема 4

При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Далее рассмотрим примеры движений в планиметрии.

Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии связано с симметричностью относительно какой-либо прямой.

Определение 2

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая перпендикулярна к отрезку ${AA}_1$ и проходит через его центр (рис. 1).

<a href=Осевая симметрия">

Рисунок 1. Осевая симметрия

Рассмотрим пример построения осевой симметрии.

Пример 1

Построить осевую симметрию треугольника $ABC$ относительно стороны $BC$.

Решение.

Из определения, очевидно, что при такой осевой симметрии сторона $BC$ перейдет в саму себя. Точка $A$ перейдет в точку $A_1$ такую, что ${AA}_1\bot BC$, ${AH=HA}_1$. Получаем, что треугольник $ABC$ переходит в треугольник $A_1BC$ (Рис. 2).



Рисунок 2.

«Движения» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

С понятием осевой симметрии также связано понятие фигуры, обладающей осевой симметрией.

Определение 3

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если каждая симметричная точка этой фигуры принадлежит этой же фигуре (рис. 3).

Пример фигуры, обладающей осевой симметрией

Рисунок 3. Пример фигуры, обладающей осевой симметрией

Центральная симметрия

Понятие центральной симметрии связано с симметричностью относительно какой-либо точки.

Определение 4

Точки $X$ и $X_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является центром отрезка ${XX}_1$ (рис. 4).

<a href=Центральная симметрия">

Рисунок 4. Центральная симметрия

Рассмотрим пример построения центральной симметрии.

Пример 2

Построить центральную симметрию треугольника $ABC$ относительно вершины $A$.

Решение.

Из определения, очевидно, что при такой центральной симметрии вершина $A$ перейдет в саму себя. Точка $B$ перейдет в точку $B_1$ такую, что ${BA=AB}_1$, а точка $C$ перейдет в точку $C_1$ такую, что ${CA=AC}_1$. Получаем, что треугольник $ABC$ переходит в треугольник ${AB}_1C_1$ (Рис. 5).



Рисунок 5.

С понятием центральной симметрии также связано понятие фигуры, обладающей центральной симметрией.

Определение 5

Фигура является симметричной относительно точки $O$, если каждая симметричная точка этой фигуры принадлежит этой же фигуре (рис. 6).

Пример фигуры, обладающей центральной симметрией

Рисунок 6. Пример фигуры, обладающей центральной симметрией

Параллельный перенос

Определение 6

Параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{a}$ - отображение плоскости на себя, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что $\overrightarrow{{MM}_1}=\overrightarrow{a}$ (Рис. 7).

Параллельный перенос

Рисунок 7. Параллельный перенос

Пример 3

Построить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $\overrightarrow{BC}$.

Решение.

Перенесем каждую вершину треугольника на вектор $\overrightarrow{BC}$. Получаем треугольник $CA_1C_1$ (рис. 8).



Рисунок 8.

Поворот

Определение 7

Поворотом вокруг точки $O$ на угол $\alpha $ называется такое движение плоскости, при котором любая точка $M$ отображается на точку $M_1$ такую, что ${OM}_1=OM,\ \angle M{OM}_1=\angle \alpha $ (Рис. 9).

<a href=Поворот">

Рисунок 9. Поворот

Дата последнего обновления статьи: 15.04.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot