Квадратные уравнения и их корни. Системы нелинейных уравнений

Для начала введем непосредственно определение квадратного уравнения.

Рассмотрим далее три различных случая в зависимости от коэффициентов уравнения. Отметим, что в данной статье мы не будем приводить общих методов для решения таких уравнений, а просто приведем корни таких уравнений для различных случаев.

Случай $β=0,γ=0$

Уравнение тогда будет иметь вид

$αx^2=0$

Очевидно, что в этом случае независимо от значения переменной перед x уравнение будет тогда иметь единственный $x=0$.

Случай $β≠0,γ=0$

Уравнение тогда будет иметь вид

$αx^2+βx=0$

Будем решать его путем разложения на множители.

$x(αx+β)=0$

Очевидно, что один из корней всегда равняется нулю.

Второй же корень находим их линейного уравнения

$αx+β=0$

$x=\frac{-β}{α}$

Случай $β≠0,γ≠0$

Уравнение тогда будет иметь вид

$αx^2+βx+γ=0$

Преобразуем левую часть так, чтобы можно было использовать формулу суммы квадрата

$αx^2+\frac{2\sqrt{α} β}{2\sqrt{α}} x+\frac{β}{4α^2}-\frac{β}{4α^2}+γ=0$

$(\sqrt{α}x+\frac{β}{2\sqrt{α}})^2-\frac{β}{4α^2}+γ=0$

$(\sqrt{α}x+\frac{β}{2\sqrt{α}})^2=\frac{β}{4α^2}-γ$

Сделаем замену: $\sqrt{α}x+\frac{β}{2\sqrt{α}}=y$. Тогда

$y^2=\frac{β}{4α^2}-γ$

Здесь возможны три случая:

1. $\frac{β}{4α^2}>γ$

   Тогда уравнение имеет следующие два корня:

   $y=±\sqrt{\frac{β}{4α^2}-γ}$

   $\sqrt{α} x+\frac{β}{2\sqrt{α}}=±\sqrt{\frac{β}{4α^2}-γ}$

   $x=\frac{±\sqrt{\frac{β}{4α^2}-γ}-\frac{β}{2\sqrt{α}}}{\sqrt{α}}$

2. $\frac{β}{4α^2}=γ$

   Тогда

   $y^2=0$

   $\sqrt{α}x+\frac{β}{2\sqrt{α}}=0$

   $x=-\frac{β}{2α}$

3. $\frac{β}{4α^2}

   В этом случае $y^2

Пример системы нелинейных уравнений.

Приведем теперь пример нелинейной системы уравнений. Систем нелинейных уравнений можно выделить огромное количество. Также часто встречаются смешанные системы. Мы же здесь приведем систему, которая также содержит квадратные уравнения.