График простейшей функции: линейная функция

Функция прямой пропорциональности

Для начала вспомним, что является функцией прямой пропорциональности.

Если теперь предположить, что они могут равнять нулю и умножить обе части на $x$ получим выражение вида $y=kx$. Это выражение будет называться функцией прямой пропорциональности.

Определение линейной функции

Будем рассматривать определение линейной функции с помощью её аналитического задания. Для ее определения используем аналитическое выражение функции прямой пропорциональности. Прибавив к правой части данного выражения какую-либо константу (включая ноль) и получим линейную функцию, то есть

Рассмотрим следующий рисунок:

Рисунок 1.

Возьмем для рассмотрения $\triangle ABC$. В нем длина $BC=kx_0+b$. Далее разрешим по отношению к $x$ следующее уравнение

То есть ведичина $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем сдедующее отношение:

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

Следовательно,

Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равняется тангенсу угла наклона данной прямой к оси $Ox$.

Исследование линейной функции $f(x)=kx+b$ и её график

Рассмотрим два случая:

1. $k >0$.

   1. $D\left(f\right)=R$.
   2. $E\left(f\right)=R$
   3. $f\left(-x\right)=-kx+b$, следовательно, данная функция -- функция общего вида.
   4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

   Следовательно, данная функция пересекает оси в точках: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

   1. $f'\left(x\right)={\left(kx+b\right)}'=k>0$. Функция возрастает при $x=R$. Экстремумов нет.
   2. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Функция не имеет перегибов и не является ни выпуклой, ни вогнутой.

   3. 
      
      Рисунок 2.

   4. График изображен на рисунке 2.

   
   
   Рисунок 3.

2. $k

   1. $D\left(f\right)=R$.
   2. $E\left(f\right)=R$.
   3. $f\left(-x\right)=-kx+b$, следовательно, данная функция -- функция общего вида.
   4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

   Следовательно, данная функция пересекает оси в точках: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$\textit{}

   1. $f'\left(x\right)={\left(kx\right)}'=k
   2. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Функция не имеет перегибов и не является ни выпуклой, ни вогнутой.

   3. 
      
      Рисунок 4.

   4. График изображен на рисунке 3.

   
   
   Рисунок 5.

Пример задачи