Натуральные числа и их свойства

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

1. Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

3. Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

4. Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

1. Переместительное свойство: $a+b=b+a$

   Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

2. Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

   Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

3. От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

1. Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$

   Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

2. Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$

   Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

3. Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

4. Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

1. Переместительное $a\cdot b=b\cdot a$

   Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

2. Сочетательное $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

   Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

3. При умножении на единицу произведение не изменяется $m\cdot 1=m$

4. При умножении на нуль произведение равно нулю

5. Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

1. Распределительное свойство умножения относительно сложения

   $(a+b)\cdot c=ac+bc$

   Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

   Например, $5(x+y)=5x+5y$

2. Распределительное свойство умножение относительно вычитания

   $(a-b)\cdot c=ac-bc$

   Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

   Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

1. Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

2. Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

3. если $a

   Пример 1

   Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

   Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a

4. в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

   Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

5. если $a

6. Если $c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

1. Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

2. Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями