Вывод уравнений теплопроводности, Лапласа и Пуассона

Лекция 1. Вводные понятия. Вывод уравнений теплопроводности, Лапласа и Пуассона. Постановка краевых условий Уравнением с частными производными называется такое уравнение, в котором неизвестным является функция нескольких переменных, причем в уравнение входит не только сама функция, но и ее частные производные. Порядок уравнения с частными производными равен наибольшему порядку входящих в него производных. Заметим, что мы уже встречались с уравнениями с частными производными в курсе дифференциальных уравнений. Это были линейные уравнения с частными производными 1-го порядка: , где , и квазилинейные уравнения 1-го порядка: . В курсе уравнений с частными производными мы будем иметь дело в основном с уравнениями 2-го порядка. Приведем краткую историческую справку. Основы теории уравнений с частными производными были заложены в середине XVIII века в связи с рассмотрением уравнений, описывающих распространение тепла, динамику сплошных сред, колебательные процессы и другие задачи, поставляемые различными областями физики. У истоков ее стояли выдающиеся математики и физики Д. Бернулли, Ж. Д'Аламбер, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, П. Лаплас, С. Пуассон, Ж. Фурье. Идеи и методы, разработанные ими при изучении конкретных уравнений математической физики, были в последующем применены к широким классам уравнений и систем и стали основой для развития в XIX веке общей теории. Отметим здесь фундаментальный вклад, внесенный нашей соотечественницей С.В. Ковалевской. Ей принадлежит доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнений и систем с частными производными в классе аналитических функций в наиболее общей, в том числе и на сегодняшний день, формулировке (1874 г.). ХХ век и начало нынешнего – время бурного развития теории, весомый вклад в которое внесли, в частности, российские математики В.И. Смирнов, М.В. Келдыш, С.Н. Бернштейн, А.Н. Тихонов, И.Г. Петровский, М.И. Вишик, О.А. Ладыженская, О.А. Олейник и многие другие. Особо следует отметить опубликованные в середине прошлого века работы С.Л. Соболева, давшие новые, оказавшиеся исключительно плодотворными, идеи и методы, основанные на понятиях обобщенной производной и обобщенного решения. 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям с частными производными. Вывод уравнений теплопроводности, Лапласа и Пуассона. Задача о распространении тепла. Пусть – объемное тело. Обозначим через коэффициент теплопроводности, – удельную теплоёмкость, – плотность тела в точке , а через – температуру тела в точке в момент времени . Пусть, далее, – произвольная подобласть тела . Изменение количества тепла в объёме за малый промежуток времени находится как где – плотность внутренних источников тепла в теле , – работа источников тепла, – поток тепла через границу в направлении внутренней нормали (эта формула для потока тепла установлена экспериментально и носит название закона Ньютона). С другой стороны, где . Применив к интегралу по границе теорему Остроградского-Гаусса (напомним, что нормаль у нас внутренняя), приходим к уравнению разделив обе части которого на и перейдя к пределу при , получим Учитывая произвольность области , получаем отсюда уравнение распространения тепла: Если тело однородно (т.е. , , – константы), то , где – оператор Лапласа, и уравнение распространения тепла преобразуется к виду где . Полученное уравнение называется уравнением теплопроводности. Это уравнение является уравнением параболического типа согласно классификации уравнений с частными производными, которая будет приведена ниже. Если не зависит от времени, то существует стационарное распределение температуры , удовлетворяющее, поскольку , уравнению , или Полученное уравнение называется уравнением Пуассона и относится к эллиптическому типу. Наконец, если внутренние источники тепла отсутствуют, то и получаем уравнение называемое уравнением Лапласа. Отметим, что все приведенные выше выкладки справедливы для пространства произвольной размерности, а не только для трехмерного. 2. Постановка краевых условий. Как уравнение теплопроводности, так и уравнение Пуассона имеет бесконечное множество решений, что очевидно и с математической, и с физической точки зрения. Чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо поставить некоторые дополнительные условия. С физической точки зрения понятно, что это должны быть условия на границе тела , описывающие процесс теплообмена между телом и окружающим пространством, а в случае уравнения теплопроводности еще и начальное условие, задающее распределение температуры в теле в начальный момент времени. Начнем с уравнения Пуассона где . В зависимости от краевых условий выделяют следующие основные 3 типа задач: 1) – 1-я краевая задача (Дирихле); краевое условие задает распределение температуры на границе области ; 2) , где – внешняя нормаль к – 2-я краевая задача (Неймана); краевое условие задает скорость изменения температуры на границе области в направлении, нормальном к этой границе; 3) – 3-я краевая задача; более общее условие, частными случаями которого являются условия Дирихле и Неймана. Аналогичные краевые (или, иначе, начально-краевые) задачи ставятся для уравнения теплопроводности: 1) – 1-я краевая задача (Дирихле); 2) – 2-я краевая задача (Неймана); 3) – 3-я краевая задача. Условие , задающее распределение температуры в теле в начальный момент времени , называется начальным условием.