Статически неопределенные системы при растяжении и сжатии

Лекция №4 Тема: Статически неопределенные системы при растяжении и сжатии Порядок решения статически неопределенных задач     Статическая сторона задачи; Геометрическая сторона задачи; Физическая сторона задачи; Математическая сторона задачи (синтез); Статически неопределимые системы – это упругие стержневые системы (конструкции), в которых количество неизвестных внутренних усилий и реакций опор больше числа уравнений статики, возможных для этой системы. Степень статической неопределимости системы – это разность между числом неизвестных и числом независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы. Примеры решения статических неопределенных задач Пример №1 : Дано: Стальные стержни BC и AD поддерживают абсолютно жесткую (недеформирующуюся) балку AB, на которую действует сила F. Площади поперечных сечений и длины стержней известны: ABC=A, AAD=2·A, lOB=2·lOA, lBC=lAD. Определить: Внутренние усилия NAD и NBC, возникающие в стержнях. Рисунок 1 Решение: 1. Статическая сторона задачи Выясним степень статической неопределимости . Балка находится в равновесии под действием пяти сил: F – известна; ROx – неизвестна; ROy – неизвестна; NAD – неизвестна; Рисунок 2 NBC – неизвестна; Статика для плоской системы сил дает три уравнения равновесия: 4 (неизвестных)–3 (уравнения статики)=1 (степень статич. неопр. системы) Так как определять реакции шарнира по условию задачи не требуется, то из трех используем только одно уравнение равновесия: 2. Геометрическая сторона задачи Для составления дополнительного уравнения (уравнения совместности деформаций) рассмотрим систему в деформированном виде (рисунок 3). Из подобия треугольников OAA1 и OBB1 имеем: Рисунок 3 Удлинение стержня AD равно перемещению AA1: ∆1AD = AA1 Так как A1D >AD , то, очевидно, что стержень AD растягивается, и его удлинение будем считать положительным . Построим треугольник BB1B2, опустив перпендикуляр из точки B на отрезок B1C (получим точку B2). Удлинение стержня BC найдем из рассмотрения треугольника BB1B2, учитывая, что ∆lBC = B1B2. Так как B1C > B2C, то, очевидно, что стержень BC растягивается, и его удлинение будем считать положительным. Учитывая, что BB1 =2 AA1 запишем уравнение совместности деформаций стержней AD и BC: 3. Физическая сторона задачи Здесь необходимо установить связь между перемещениями и внутренними усилиями. Такая связь устанавливается при помощи закона Гука с учетом знаков ∆l и N (в данной задаче они– положительны): 4. Математическая сторона задачи (синтез) Подставим выражения закона Гука совместности деформаций: в формулы уравнения Напряжения в стержнях при растяжении: -- условие прочности При этом необходимо проверить оба условия, а площадь A принять равно большему из двух полученных значений. Начальные (монтажные) и температурные напряжения Пример №2 : Дано: Стержневая система, состоящая из стержней одинаковой длины l и одинаковой площади сечения A, загружена силой F. При этом при сборке системы за счет зазора ∆ в стержнях были созданы начальные (монтажные) напряжения и температурные напряжения за счет нагрева стержня AB на температуру t. Определить: Внутренние усилия, возникающие в стержнях. Рисунок 4 Решение: 1. Статическая сторона задачи Применяя метод мысленных сечений, вырежем каждый из шарниров A и B и запишем для них уравнения равновесия. Рисунок 5 2. Геометрическая сторона задачи Рассмотрим систему в деформированном состоянии и запишем уравнения, связывающие перемещения элементов системы с деформациями стержней. Рассматривая треугольники AA1A2 и BB1B2, найдем: - уравнение Рисунок 6 совместности деформаций 3. Физическая сторона задачи Запишем закон Гука, здесь же необходимо учесть и температурные деформации αt·t·lAB (αt – коэффициент линейного расширения материала стержня): 4. Математическая сторона задачи (синтез) Подставим выражения закона Гука в уравнение совместности деформаций: Решая данное уравнение совместно с уравнениями равновесия, найдем неизвестные внутренние усилия в стержнях.