Релятивистские поправки к движению электрона в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Спиновый магнитный момент

Лекция №11 § 16. Релятивисткие поправки к движению электрона в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Спиновый магнитный момент Рассмотрим уравнение Дирака, описывающее движение заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. iℏ ∂Ψ e ̂ − 𝐀) + eФ + mc 2 β] Ψ. = [c𝛂 (𝐩 ∂t c (11.1) Если электрическое и магнитное поля не зависят от времени, то в этом случае необходимо перейти к стационарным решениям вида (11.2) Ψ(𝐫, t) = Ψ(𝐫) exp(−iEt/ℏ). Тогда уравнение (11.1) примет вид e ̂ − 𝐀) + eФ + mc 2 β] Ψ(𝐫). EΨ(𝐫) = [c𝛂 (𝐩 c (11.3) Ограничимся здесь рассмотрением только положительных значений энергии и выделим в энергии собственную энергию mc 2 (энергию покоя) E = E ′ + mc 2 . (11.4) Используем приближение Паули, т. е. запишем четырёхкомпонентную волновую функцию Ψ через двухкомпонентные функции φ Ψ = (χ) , φ=( Ψ1 ), Ψ2 Ψ χ = ( 3 ). Ψ4 (11.5) Тогда уравнение (11.3) с учётом сказанного представится в виде двух уравнений e (E ′ − eФ)φ = c𝛔 (𝐩 ̂ − 𝐀) χ , c e (2mc 2 + E ′ − eФ)χ = c𝛔 (𝐩 ̂ − 𝐀) φ . c (11.6) Исследуем эту систему уравнений в нерелятивистком приближении для слабых полей, т. е. в системе уравнений Дирака (11.6), учтём лишь члены порядка v⁄c , так что |E ′ − eФ| ≪ mc 2 . В этом случае величина E ′ − eФ = mv 2 /2 и отношение (E ′ − eФ)/mc 2 ~ (v⁄c)2 , так что такими членами будет пренебрегать. Тогда получим e ̂ − 𝐀) χ + eФφ, E ′ φ = c𝛔 (𝐩 c e ̂ − 𝐀) φ c𝛔 (𝐩 1 e c ̂ − 𝐀) φ. χ= ≈ 𝛔 (𝐩 2 ′ 2mc + E − eФ 2mc c (11.7) Подставляя значение 𝜒 из второго уравнения системы (11.7) в первое уравнение, находим уравнение, содержащее только спиновую функцию φ 2 e ̂ − 𝐀)] [𝛔 (𝐩 c E′φ = { + eФ} φ . 2m (11.8) Используя операторное тождество (𝛔𝐀)(𝛔𝐁) = 𝐀𝐁 + i𝞂[𝐀 ∙ 𝐁], (11.9) находим 2 e e 2 eℏ ̂ − 𝐀)] = (𝐩 ̂ − 𝐀) − 𝞂 rot𝐀. [𝛔 (𝐩 c c c (11.10) Учитывая, что 𝐇 = rot𝐀 получим нерелятивисткое уравнение для движения частицы со спином (1/2) в электромагнитном поле 𝐞 2 ̂ − 𝐀) (𝐩 eℏ 𝐜 (𝛔𝐇)} φ . E′φ = { + eФ − 2m 2mc (11.11) Уравнение (11.11) было впервые получено Паули (1927 г.), поэтому его называют уравнением Паули. Сравнивая это уравнение с нерелятивистким уравнением Шредингера для случая стационарных состояний, мы видим, что (11.11) содержит в операторе Гамильтона дополнительное слагаемое −(𝛍 ̂𝐇) = −μ0 (𝛔𝐇), (11.12) где μ0 = eℏ/2mc − магнетон Бора. Это выражение можно интерпретировать как энергию взаимодействия с магнитным полем магнитного момента частицы, соответствующего оператору 𝛍 ̂ = μ0 𝛔 . (11.13) Учтём, что значение механического момента электрона 𝐒̂ = ℏ 𝞂. 2 (11.14) Как следствие теории Дирака находим соотношение 𝛍 ̂= e 𝐒̂ , m0 с (11.15) которое ранее было введено для объяснения опыта Эйнштейна – де Гааза. Если ось z направить вдоль магнитного поля, то проекция оператора спинового магнитного момента электрона равна μ̂z = e Ŝ . m0 с z (11.16) Так как собственные значения оператора Ŝz равны ±ℏ/2, то собственные значения оператора спинового магнитного момента равны ±eℏ/2m0 с. Отсюда получаем, что отношение магнитного спинового момента к механическому равно e/mc , т. е. в два раза превышает соответствующее отношение для моментов, обусловленных орбитальным движением. § 17. Спин – орбитальное взаимодействие Рассмотрим движение частицы со спином 1/2 в электрическом поле с точностью до членов порядка v 2 /c 2 . Полагая в уравнениях системы (11.6) 𝐀 = 0, получим [E ′ − V(r)]φ = c𝛔𝐩 ̂χ, 2 ′ [2mc + E − V(r)]χ = c𝛔𝐩 ̂φ. (11.17) Вычислим из второго уравнения системы (17) функцию χ с точностью до первых степеней отношения (E ′ − V)/2mc 2, т. е. точностью (v 2 /c 2 ). Подставляя значение χ = (1 − в первое уравнение системы двухкомпонентную функцию φ (E ′ − V)φ = ̂ E ′ − V 𝛔𝐩 ) φ 2mc 2 2mc (11.17), (11.18) находим уравнение, ̂ 𝛔𝐩 E′ − V ̂φ. (1 − ) 𝛔𝐩 2m 2mc 2 содержащее только (11.19) Используя тождество (11.9), преобразуем правую часть уравнения (11.19) к виду ̂ f(𝐫)(𝛔𝐩 ̂) = f(𝐫)(𝛔𝐩 ̂)(𝛔𝐩 ̂) − iℏ(𝛔 gradf)(𝛔𝐩 ̂) = 𝛔𝐩 2 ̂ − iℏ(gradf)𝐩 ̂ + ℏ𝞂 [(gradf) ∙ 𝐩 ̂]. = f(𝐫)𝐩 (11.20) Тогда уравнение (11.19) преобразуется и виду ̂ ′ φ, E′φ = 𝐇 ̂ ′ = (1 − H (11.21) ̂2 E′ − V 𝐩 ℏ𝞂 iℏ [(gradV) ] (gradV)𝐩 ̂ ̂. ) + 𝑉 + ∙ 𝐩 − 2mc 2 2m 4m2 c 2 4m2 c 2 (11.22) Чтобы последовательно учесть все члены, имеющие порядок v 2 /c 2 , следует помнить, что функция φ нормирована с этой же точностью. Действительно φ ∫ ρdτ = ∫ Ψ+ Ψdτ = ∫ φ+ χ+ ( χ ) dτ = ∫(φ+ φ + χ+ χ)dτ = ̂ ̂ E ′ − V + 𝛔𝐩 E ′ − V 𝛔𝐩 = ∫ [φ φ − (1 − ) φ (1 − ) φ] dτ = 2mc 2 2mc 2mc 2 2mc ̂2 𝐩 = ∫ φ+ (1 − ) φdτ . (11.23) 4m2 c 2 + ̂)(𝛔𝐩 ̂) = 𝐩 ̂2 , причём удерживаем в Здесь принимаем во внимание, что (𝛔𝐩 разложении только те члены, которые по точности не превышают v 2 /c 2 . Введём вместо функции φ другую функцию Ψ = ĝφ (11.24) такую, что ∫ Ψ+ Ψdτ = ∫ φ+ g + ĝφdr = 1. (11.25) Сравнивая (11.25) и (11.23) можно найти явный вид оператора преобразования 1/2 ̂2 𝐩 ĝ = (1 − ) 4m2 c 2 ≈1− ̂2 𝐩 . 8m2 c 2 (11.26) Подействуем оператору g + слева на обе части уравнение (11.21) и получим ̂ ′ φ = (ĝ𝐇 ̂ ′ ĝ −1 )ĝφ. E ′ ĝφ = ĝ𝐇 (11.27) Значит преобразование (11.24) должно сопровождаться преобразованием оператора Гамильтона ̂ = ĝ𝐇 ̂ ′ ĝ −1 . H (11.28) ̂ Ψ. E′Ψ = H (11.29) Тогда ̂ с точностью до v 2 /c 2 равен Причём оператор H ̂ = (1 − H ̂2 ̂2 𝐩 𝐩 ̂ ′ (1 + ) H )= 8m2 c 2 8m2 c 2 [E ′ − V(𝐫)]2 ̂2 𝐩 ℏ𝞂 [(gradV) ∙ 𝐩 ̂] + х = + V(𝐫) − + 2mc 2 4m2 c 2 2m ℏ𝟐 + ∇2 V(𝐫) . (11.30) 8m2 c 2 При получении равенства (11.30) были использованы следующие формулы ̂2 V(𝐫) − V(𝐫)𝐩 ̂2 = −ℏ𝟐 ∇2 V(𝐫) − 2iℏ(gradV)𝐩 ̂, 𝐩 (11.31) 2 E′ − V 2 E′ − V 2 ̂ ≈𝐩 ̂ −( (1 − )𝐩 ) . 2mc 2 c (11.32) Первые два слагаемые в (11.30) соответствуют нерелятивисткому оператору Гамильтона. Три последних учитывают релятивисткие поправки порядка v 2 /c 2 . Их можно записать в виде W = W1 + W2 + W3 , (11.33) где W1 = (ℏ𝟐 /8m2 c 2 ) ∙ ∇2 V − поправка, впервые введённая Дарвином. В случае кулоновского поля V(r) = (−e2 Z/r). Учитывая, что ∇2 (1/r) = −4πδ(r), получаем πℏ𝟐 e2 Z W1 = δ(r). 2m2 c 2 (11.34) Величину W1 иногда называют оператором контактного взаимодействия. Он определяет дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром в s – состояниях, т. к. соответствующая дополнительная энергия ∆𝐸 = ∫ Ψ + W1 Ψdτ (11.35) пропорциональна |Ψ(0)|2 и отлична от нуля лишь для s – состояний (𝑙 = 0), поскольку только в этом случае |Ψ(0)|2 ≠ 0. Для всех же других состояний (𝑙 ≠ 0), этот квадрат волновой функции при r = 0 обращается в нуль Ψnlm (𝐫) = R nl (r)Ylm (θ, φ) R10 (r) = 2 𝑎3/2 e−r/𝑎 (1s − состояние), R 21 (r) = W2 = − R 20 (r) = (11.36) 1 r (1 − )e−r/𝑎 (2s − состояние), 𝑎 √2𝑎2 1 r −r/𝑎 e (2p − состояние), 2√6𝑎3 𝑎 (E ′ − V(r))2 , 2mc 2 (11.37) W2 есть поправка к оператору кинетической энергии, возникающая из – за релятивисткого изменения массы частицы при изменении скорости. Последнее слагаемое в (11.16) есть W3 = ℏ𝞂 [gradV(𝐫) ∙ 𝐩 ̂] 4m2 c 2 (11.38) – поправка, которую, называют оператором спин – орбитального взаимодействия. В центрально – симметричном поле: gradV(𝐫) = ∂V 𝐫 . ∂r r (11.39) Откуда W3 = ℏ𝞂 ∂V ̂ ), (𝐬̂𝐋 2m2 c 2 ∂r (11.40) ℏ ̂ = [𝐫 ∙ 𝐩 ̂] − оператор орбитального момента, 𝐬̂ = 𝞂 − оператор спинового момента. где 𝐋 2 В s – состоянии среднее значение поправки W3 равно нулю. Но в s – состоянии W1 отлична от нуля. В этом смысле оператор контактного взаимодействия называется оператором спин – орбитального взаимодействия в s – состоянии. gradV(𝐫) = −e𝓔. (11.41) Тогда оператор спин – орбитального взаимодействия можно записать в виде: W3 = − 𝑒ℏ𝞂 [𝓔 ∙ 𝐩 ̂], 4m2 c 2 𝓔 − напряженность электрического поля. (11.42)