Расчет на прочность и жесткость при растяжении– сжатии

1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ– СЖАТИИ 1.1. Выбор материала и допускаемых напряжений 1.1.1. Расчет физико–механических характеристик материала Диаграмма растяжения титанового сплава ВТ3 изображена на рис. 1.1. Образец длиной l0 = 80 мм и диаметром d 0 = 8мм разрушился с образованием шейки d1 = 6, 7мм , что свидетельствует о том, что материал пластичный. Площадь поперечного сечения образца до испытаний: πd 2 π ⋅ 82 A0 = 0 = = 50, 24 мм 2 ; 4 4 после разрушения: πd 2 π ⋅ 6, 7 2 A1 = 1 = = 35, 2 мм 2 . 4 4 Относительное остаточное удлинение Δl 12, 2 δ = 0 ⋅100% = ⋅100% = 15%. l0 80 Относительное остаточное сужение Ψ= A0 − A1 ⋅100% = A0 50, 24 − 35, 20 = ⋅100% = 29,9%. 50, 24 Определим основные характеристики прочности. Предел пропорциональности Fnц 44 ⋅103 σпц = = = 875 МПа. A0 50, 24 Условный предел текучести F 46 ⋅103 σ0,2 = 0,2 = = 916 МПа. A0 50, 24 Предел прочности (временное сопротивление σв) Fmax 55 ⋅103 σпч = = = 1095 МПа. A0 50, 24 Рис. 1.1 1.1.2. Расчет допускаемых напряжений Допускаемое напряжение [ σ] выбираем, как некоторую долю предельного на- пряжения σпред , то есть [ σ] = σпред , n где n – коэффициент запаса прочности. Рекомендуемые значения n = 1,5 ÷ 2,5. Примем n = 1,5, тогда σ σ 916 = 611МПа. [σ] = пред = 0,2 = n n 1,5 Лист Изм. Лист № докум. Подпись Дата 2 1.2. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня Для ступенчатого стержня представленного на рис. 1.2 необходимо построить эпюру продольных сил, построить эпюру напряжений, отнесенную к площади A0, найти A0 из условия прочности. 1.2.1. Построение эпюры продольных сил Составим уравнение равновесия системы (рис. 1.3, а): ∑ F z = R A − q ( l1 + l3 ) − F1 = 0, откуда R A = q ( l1 + l3 ) + F1 = 22 ( 0, 3 + 0, 4 ) + 20 = 35, 4 кН. Разобьем стержень на 3 участка AB, BC и CD, проведем на каждом из них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3 с координатами z1, z2, z3 (рис. 1.3, а). Участок АВ (0≤z1≤l3=0,4м) (рис. 1.4, а). Из равновесия оставленной верхней части следует, что N(z1)=RA=35,4 кН. а б в Рис. 1.3 Рис. 1.2 г На участке ВС (0≤z2≤l2=0,4м) (рис. 1.4, б). Из условия равновесия получим N(z2) =RA – q·z2 Значение N(z2) в начале участка, точка В, и в конце участка, точка С N(z2=0) = RA = 35,4 кН; и N(z2=l3) = RA – q·l2 = 35,4 – 22·0,4 = 26,6 кН. а б Рис. 1.4 в Лист Изм. Лист № докум. Подпись Дата 3 На участке CD (0≤z3≤l1=0,3м) (рис. 1.4, в). Отбросим верхнюю часть, ее действие заменим продольной силой N(z3). Из уравнения равновесия следует N(z3) = F1 + qz3. Функция N(z3) представляет линейную зависимость. Значение N(z3) в начале (точка D) и в конце (точка С) участка N(z3=0)=F1=20кН, и N(z3=l1) = F1 + q·l1 = 20 + 22·0,3 = 26,6 кН. По полученным данным строим эпюру N (рис. 1.3, б). Эпюра показывает, что на всех участках стержня – растяжение. Скачок в сечении А равен реакции RA = 35,4 кН, в сечении D – силе F1= 20 кН, приложенной в этом сечении. 1.2.2. Построение эпюры напряжений Нормальные напряжения σ(z) распределяются равномерно по сечению: N (z) σ( z ) = , A( z ) где N(z) – продольная сила, А(z) – площадь поперечного сечения. Для определения положения опасного сечения стержня, в котором возникают максимальные напряжен, определим напряжения в долях 1/А0. Участок АВ (0 ≤ z1 ≤ l1=0,4м), нормальные напряжения σ ( z1 ) = N ( z1 ) 35, 4 23, 6 . = = 1, 5 A0 1, 5 A0 A0 На участке ВС (0 ≤ z2 ≤ l2=0,4м): 35, 4 − 0 88, 5 ⎧ ⎪ z 2 = 0 : 0, 4 A = A ; N ( z 2 ) R A − qz 2 ⎪ σ( z2 ) = = =⎨ . 0, 4 A0 0, 4 A0 ⎪ z = l : 35, 4 − 22 ⋅ 0, 4 = 66, 5 . 2 ⎪⎩ 2 0, 4 A0 A0 Участок CD (0≤z3≤l1=0,3м): 20 + 0 20 ⎧ z3 = 0 : = ; ⎪ A0 A0 N ( z 3 ) F1 + qz 3 ⎪ . σ ( z3 ) = = =⎨ A0 A0 ⎪ z = l : 20 + 22 ⋅ 0, 3 = 26, 6 . 1 ⎪⎩ 3 A0 A0 По полученным данным построим ЭσA0 (рис. 1.3, в). 1.2.3. Расчет на прочность. Подбор сечения По эпюре напряжений видно, что опасным является сечение В 88, 5 σ m ax = . A0 Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид: N (z) σ max = ≤ [σ ] , A( z ) max где [σ] – допускаемое напряжение, которое определено выше для материала ВТ3 и равно. [σ] =611 МПа. Тогда условие прочности примет вид 88,5 ≤ [σ ] , А0 откуда А0: Лист Изм. Лист № докум. Подпись Дата 4 A0 ≥ 8 8, 5 8 8, 5 ⋅ 1 0 3 = = 145 м м 2. 611 [σ ] При этом А1=1,5А0=1,5⋅145=217,5мм2; А2=0,4А0=0,4⋅145=58мм2; А3=А0=145мм2. Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении А0. 23, 6 23, 6 ⋅ 10 3 = = 163 МПа. Участок АВ: σ = А0 145 ⎧ 88.5 88.5 ⋅103 ( 0) z σ = = = = 610 МПа; 2 ⎪ 144 A0 ⎪ Участок ВС: ⎨ 3 ⎪σ ( z = l ) = 66, 5 = 66, 5 ⋅10 = 459 МПа. 2 3 ⎪⎩ 145 A0 ⎧ 26, 6 26, 6 ⋅103 ( 0) z σ = = = = 183 МПа; ⎪ 3 145 A0 ⎪ Участок CD: ⎨ 3 ⎪ σ ( z = l ) = 20 = 20 ⋅10 = 138 МПа. ⎪⎩ 3 1 145 A0 По полученным данным строим эпюру действующих в стержне нормальных напряжений (рис. 1.3, г). 1.3. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения Для стержня из стали 40Х, площадью сечения А=6см2, представленного на рис.1.5, необходимо построить эпюры продольных сил и осевых перемещений, выполнить расчет на жесткость. 1.3.1. Построение эпюр продольных сил и перемещений Построение эпюры продольных сил. Направим вдоль оси стержня ось z (рис. 1.5). Составим уравнение равновесия системы: ∑ F z = R A − ql1 − 2 F1 + F1 = 0, Рис.1.5. Лист Изм. Лист № докум. Подпись Дата 5