Эконометрика

Эконометрика Магистратура, 2 семестр • Статические свойства доходностей • Факторные модели доходностей – Тестирование CAPM и APT • Моделирование волатильности – модели условной гетероскедастичности – прогнозирование волатильности, расчет мер риска и бэктестирование • Модели многомерных временных рядов Доходность инвестиций в финансовые активы • Пусть Pt – цена некоторого актива; • Доходность при дискретном начислении процентов Rt : • Общая доходность: Доходность инвестиций в финансовые активы • Доходность за два периода: • Доходность за k периодов: Доходность инвестиций в финансовые активыактивов • Учет дивидендов: • Учет инфляции: Доходность инвестиций в финансовые активы • Доходность инвестиции в портфель активов • Избыточная доходность (премия за риск) Доходность инвестиций в финансовые активы • Доходность при непрерывном начислении процентов rt: • При этом Доходность инвестиций в финансовые активы • Доходность за два периода: • Доходность за k периодов: Доходность инвестиций в финансовые активы • Учет выплаты дивидендов: • Учет инфляции: Доходность инвестиций в финансовые активы • Доходность портфеля: • Выполняется лишь приблизительное равенство (если Ri,t – мало) Доходность инвестиций в финансовые активы • Избыточная доходность (премия за риск): • Но, если Zt – мало, то Некоторые свойства эмпирических распределений доходностей • • • • • • Ассимметрия Тяжелые хвосты Нормальность для агрегированных данных Отсутствие автокорреляции Кластеризация волатильности Непостоянство во времени корреляций между доходностями различных активов Логарифмические доходности для MSFT Временной ряд 0.2 0.15 0.1 Среднее Медиана Минимум Максимум Стандартное отклонение Вариация Асимметрия Эксцесс ld_AdjClose 0.05 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 0.000093 0.00000 -0.16958 0.17869 0.019874 213.58 -0.099377 9.6983 Логарифмические доходности для MSFT Гистограмма 30 ld_AdjClose N(9.3053e-005,0.019874) ВХбв ЭР ЭЮаЬРЫмЭЮХ аРбЯаХФХЫХЭШХ: ЕШ-ЪТРФаРв(2) = 3948.020 [0.0000] 25 їЫЮвЭЮбвм 20 15 10 5 -0.15 -0.1 -0.05 ld_AdjClose 0.05 0.1 0.15 Основные характеристики законов распределения случайных величин Пусть – случайная величина с плотностью распределения f() Начальные моменты: Центральные моменты: Математическое ожидание: Дисперсия: Асимметрия: Куртосис: Нормальное распределение • Пусть Выборочные характеристики • Пусть - случайная выборка объемом T. • Выборочные характеристики Тесты на нормальность • Шапиро-Уилка • (основан на оптимальной линейной несмещённой оценке дисперсии к её обычной оценке методом максимального правдоподобия) • Жака- Бера JB ~ χ 2 (2) • Замечание. Если , то Тесты на нормальность для MSFT • Q-Q диаграмма Q-Q УаРдШЪ ФЫп ld_AdjClose 0.2 y=x 0.15 0.1 0.05 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 єТРЭвШЫШ ЭЮаЬРЫмЭЮУЮ аРбЯаХФХЫХЭШп • Тест Шапиро-Уилка (Shapiro-Wilk W) = 0.902544, • Тест Жака-Бера (Jarque-Bera) = 15953.4 Распределение Стьюдента (t-распределение) • Пусть случайные величины. • Тогда независимые подчиняется закону распределения Стьюдента с v степенями свободы Скошенное нормальное распределение • Если случайная величина подчиняется скошенному нормальному распределению , то ее функция плотности распределения имеет вид - - параметр положения; - разброса; - скошенности Скошенное нормальное распределение Скошенное t - распределение • Можно определить на основе скошенного нормального закона: Скошенное t - распеределение Автокорреляция доходностей • Стохастический процесс называют ковариационно стационарным, если • Величины γj - называют автоковариациями j-го порядка. • коэффициент автокорреляции j-го порядка определяется как • график зависимости коэффициентов автокорреляции ρj от лага j называют автокорреляцирнной функцией Примеры процессов • Гауссовский белый шум • (значения независимы между собой) • Процесс с независимыми приращениями • (приращения взаимно независимы) Тесты на отсутствие автокорреляции • На основе автокорреляционной функции – Если , то – ширина 95% доверительного интервала для коэффициентов автокорреляции составляет Автокорреляционная функция для MSFT ACF ФЫп ld_AdjClose 0.06 +- 1.96/T^0.5 0.04 0.02 -0.02 -0.04 -0.06 10 20 30 40 50 ЫРУ PACF ФЫп ld_AdjClose 0.06 +- 1.96/T^0.5 0.04 0.02 -0.02 -0.04 -0.06 10 20 30 ЫРУ 40 50 Тесты на отсутствие автокорреляции • Бокса-Пирса – Q(k) при нулевой гипотезе подчиняется распределению χ2(k) • Бокса-Льюинга Кластеризация волатильности ld_AdjClose 0.2 0.15 0.1 0.05 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 2001 sq_ld_AdjClose 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 2001 Кластеризация волатильности • Экспоненциально сглаженная волатильность (λ=0,8) 0.008 0.007 0.006 EWMA 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 Некоторые меры риска • • • • Волатильность (σ) Капитал под риском (Value at Risk - VaR) Вероятность убытков (Probability of Loss) Ожидаемый убыток (Expected Srotfall, CVaR) Корреляции между доходностями ld_AdjClose Юв gg (б ЯЮФСЮаЮЬ ЯЮ јЅє) 0.2 Y = 8.39e-005 + 0.445X 0.15 ld_AdjClose 0.1 0.05 -0.05 -0.1 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 gg 0.1 0.15