Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

Понятие многоугольника

Определение 1

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника, а их концы - вершинами многоугольника.

Определение 2

$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.

Виды многоугольников

Определение 3

Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).

Выпуклый многоугольник

Рисунок 1. Выпуклый многоугольник

Определение 4

Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).

Невыпуклый многоугольник

Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник

Сумма углов многоугольника

Введем теорему о сумме углов -угольника.

Теорема 1

Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Доказательство.

Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).



Рисунок 3.

При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется ${180}^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Теорема доказана.

«Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Понятие четырехугольника

Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.

Определение 5

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).

Четырехугольник

Рисунок 4. Четырехугольник

Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).

Выпуклые четырехугольники

Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники

Теорема 2

Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется ${360}^0$

Доказательство.

По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

\[(n-2)\cdot {180}^0\]

Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется

\[\left(4-2\right)\cdot {180}^0={360}^0\]

Теорема доказана.

Примеры задач

Пример 1

Определить сумму углов выпуклого девятиугольника, семиугольника и двенадцатиугольника.

Решение.

Для решения будем пользоваться теоремой $1$. Получим:

Сумма углов выпуклого пятиугольника равняется

\[\left(5-2\right)\cdot {180}^0=3\cdot {180}^0={540}^0\]

Сумма углов выпуклого девятиугольника равняется

\[\left(9-2\right)\cdot {180}^0=7\cdot {180}^0={1260}^0\]

Сумма углов выпуклого двенадцатиугольника равняется

\[\left(12-2\right)\cdot {180}^0=10\cdot {180}^0={1800}^0\]
Пример 2

Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равняется ${1620}^0$.

Решение.

Используя формулу задачи $1$, имеем

\[\left(n-2\right)\cdot {180}^0={1620}^0\] \[n-2=9\] \[n=11\]

Ответ: $11$.

Дата последнего обновления статьи: 12.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot