Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Энергия заряженного конденсатора

Заряды конденсатора

Электрическая энергия, как и любой другой вид энергии, зависит исключительно от состояния системы, и не зависит от способа, которым данная система пришла в такое состояние.

Электрическая энергия заряженного конденсатора зависит от заряда (q), который находится на его обкладках или напряжением между ними (U).

Каким образом конденсатор был заряжен, не влияет на энергию, запасенную в нем. Допустим, что изначально конденсатор не заряжен. Это значит, что на каждой из его обкладок есть и положительный заряд и отрицательный, они одинаковы, и в результате суммарный заряд проводников равен нулю. Станем заряжать конденсатор небольшими порциями dq, перенося порции заряда с отрицательной обкладки на положительную. На практике это осуществляется с помощью соединения обкладок конденсатора проводом, в котором включён источник ЭДС. Источник ЭДС перекачивает заряд до тех пор пока разность потенциалов обкладок не достигнет заданной величины. Весь этот процесс означает, что внешние по отношению к полю конденсатора силы совершают работу ($\delta A^{vnesh}$) против сил поля равную:

\[\delta A^{vnesh}=({\varphi }_1-{\varphi }_2)dq\ \left(1\right),\]

где ${\varphi }_1-{\varphi }_2=U$ -- разность потенциалов между обкладками. Работа сил поля ($\delta A$) самого конденсатора при этом равна:

\[\delta A=-\delta A^{vnesh}=-({\varphi }_1-{\varphi }_2)dq\left(2\right).\]

Зарядка конденсатора

Зарядка конденсатора может сопровождаться выделением или поглощением тепла, изменением плотности диэлектрика. В данном случае будем считать эти эффекты не существенными. Это значит, что мы будем считать, что диэлектрическая проницаемость постоянна ($\varepsilon =const).\ $В таком случае вся работа внешних сил пойдет на увеличение электрической энергии конденсатора (W). В таком случае мы можем записать:/p> \[dW=({\varphi }_1-{\varphi }_2)dq=\frac{qdq}{C}\ \left(3\right).\]

Мы уже сказали, что в процессе зарядки конденсатора $\varepsilon =const$, следовательно, не изменится емкость конденсатора. Проинтегрируем уравнение (3), получим, что:

\[W=\frac{q^2}{2C}\ \left(4\right).\]

Или зная связь заряда, емкости и потенциала проводника:

\[C=\frac{q}{{\varphi }_1-{\varphi }_2}=\frac{q}{U}(5)\]

выражение (4) можно записать как:

\[W=\frac{qU}{2C}=\frac{1}{2}CU^2\ \left(6\right).\]
Пример 1

Задание: Два конденсатора имеют емкости $C_1\ и\ C_2$. Они заряжены до напряжений $U_1\ и\ U_2$ соответственно. Конденсаторы соединили параллельно. Определите, какое количество тепла выделится при таком соединении?

Пример 1

Рис. 1

Решение:

Потенциалы обкладок, которые соединили стали одинаковыми. По закону сохранения сумма заряда на обкладках конденсаторов сохранилась.

Значит можно записать следующее:

\[q_1+q_2=\widetilde{q_1}+\widetilde{q_2}\left(1.1\right),\]

где $q_1; q_2$ заряды конденсаторов до того как их соединили, соответственно $\widetilde{q_1};;\widetilde{q_2}$ - заряды конденсаторов после их соединения. Причем:

\[q_1=C_1U_1,\] \[q_2=C_2U_2\ \left(1.2\right).\]

Количество тепла, которое выделится при соединении конденсаторов равно:

\[Q=W_1-W_2\left(1.3\right),\]

где $W_1$ -- суммарная энергия конденсаторов до соединения, $W_2$ -- сумма энергий полей конденсаторов после соединения. Причем:

\[W_1=\frac{1}{2}\left(C_1{U_1}^2+C_2{U_2}^2\right)\left(1.4\right).\] \[W_2=\frac{С U^2}{2}\ \left(1.5\right).\]

Подставим (1.5) и (1.4) в уравнение (1.3), получим:

\[Q=\frac{1}{2}\left(C_1{U_1}^2+C_2{U_2}^2\right)-\frac{СU^2}{2}\ \left(1.6\right).\]

Емкость параллельного соединения конденсаторов (С) найдем как:

\[С=C_1+C_2\left(1.7\right).\]

Если уравнение (1.1) переписать, заменив заряды, на соответствующие произведения емкостей и разностей потенциалов, то получим:

\[C_1U_1+C_2U_2=C_1U+C_2U\ \left(1.8\right).\]

Выразим из (1.8) разность потенциалов на конденсаторах после их соединения:

\[\frac{C_1U_1+C_2U_2}{C_1+C_2}=U\ \left(1.9\right).\]

Подставим (1.9) в (1.6) найдем искомую теплоту:

\[Q=\frac{C_1C_2{\left(U_1-U_2\right)}^2}{2{(C}_1+C_2)}.\]

Ответ: $Q=\frac{C_1C_2{\left(U_1-U_2\right)}^2}{2{(C}_1+C_2)}.$

«Энергия заряженного конденсатора» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Пример 2

Задание: Площадь обкладок плоского воздушного конденсатора равна $S$. Какую работу следует совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками конденсатора от $d_1$ до $d_2$. Если при этом постоянным поддерживается разность потенциалов (U) на конденсаторе. Процесс проводится медленно.

Решение:

Процесс проводится медленно, будем считать, что выделения тепла в системе не происходит, в таком случае изменение внутренней энергии конденсатора равно работе по перемещению обкладок, то есть запишем:

\[A=W_2-W_1\ \left(2.1\right).\]

Если неизменным остается напряжение на обкладках конденсатора в ходе наших манипуляций, а изменение энергии поля конденсатора происходит за счет изменения емкости, то выражение для энергии поля удобнее использовать в виде:

\[W=\ \frac{1}{2}CU^2\ \left(2.2\right).\]

В таком случае имеем:

\[A=\frac{1}{2}U^2\left(C_2-C_1\right)\left(2.3\right),\]

где $C_2,C_1$ -- емкости конденсатора до увеличения и после увеличения расстояния между обкладками. Емкость плоского конденсатора может быть найдена по формуле:

\[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0S}{d}\left(2.4\right),\]

где $\varepsilon $=1, так как по условию задачи конденсатор воздушный. Используем (2.4), подставим в (2.3) выражения для емкостей конденсатора в двух заданных состояниях, получим:

\[A=\frac{1}{2}U^2\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0S}{d_2}-\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0S}{d_1}\right)=\frac{1}{2}U^2\varepsilon {\varepsilon }_0S\left(\frac{d_2-d_1}{d_2d_1}\right).\]

Ответ: $A=\frac{1}{2}U^2\varepsilon {\varepsilon }_0S\left(\frac{d_2-d_1}{d_2d_1}\right).$

Дата последнего обновления статьи: 04.12.2023
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot